区間[0,1)のベータ分布の区間[a,b)の平均値の求め方は？
ベータ分布が特定の区間 $[a, b)$ に制限された場合の平均値、すなわち条件付き期待値 $E[X \mid a \le X < b]$ は、「正則化不完全ベータ関数」を用いて求めることができます。
結論から言うと、パラメータ $\alpha, \beta$ を持つベータ分布の区間 $[a, b)$ における平均値は以下の式で表されます。
$$E[X \mid a \le X < b] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{I_b(\alpha+1, \beta) - I_a(\alpha+1, \beta)}{I_b(\alpha, \beta) - I_a(\alpha, \beta)}$$
ここで、$I_x(\alpha, \beta)$ は正則化不完全ベータ関数を表します。また、$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ は元のベータ分布全体の平均値です。
以下に、この公式が導出される具体的な手順を解説します。
1. 確率密度関数と求めるべき式
ベータ分布の確率密度関数 $f(x)$ は、ベータ関数 $B(\alpha, \beta)$ を用いて次のように定義されます。
$$f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}$$
区間 $[a, b)$ における条件付き期待値は、その区間での「部分的な期待値」を「その区間に入る確率」で割ることで求められます。
$$E[X \mid a \le X < b] = \frac{\int_a^b x f(x; \alpha, \beta) dx}{\int_a^b f(x; \alpha, \beta) dx}$$
2. 分母の計算（区間に入る確率）
分母は区間 $[a, b)$ の確率そのものです。これは累積分布関数（正則化不完全ベータ関数 $I_x(\alpha, \beta)$）の差として直接表すことができます。
$$\int_a^b f(x; \alpha, \beta) dx = I_b(\alpha, \beta) - I_a(\alpha, \beta)$$
3. 分子の計算（部分期待値）
分子の積分に確率密度関数を代入し、式を整理します。
$$\int_a^b x f(x; \alpha, \beta) dx = \int_a^b x \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} dx\\ = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \int_a^b x^{(\alpha+1)-1}(1-x)^{\beta-1} dx$$
ここで、積分の部分が「パラメータ $\alpha+1, \beta$ のベータ分布」の形に似ていることに注目します。ベータ関数の性質 $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ を使うと、以下の関係が成り立ちます。
$$B(\alpha+1, \beta) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} B(\alpha, \beta)$$
これを利用して、式の係数を変形します。
$$\frac{1}{B(\alpha, \beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{1}{B(\alpha+1, \beta)}$$
これを分子の式に戻すと、パラメータが $(\alpha+1, \beta)$ となった新しい確率密度関数の積分を作り出すことができます。
$$\int_a^b x f(x; \alpha, \beta) dx = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \int_a^b \frac{x^{(\alpha+1)-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha+1, \beta)} dx$$
積分の部分は、パラメータ $\alpha+1, \beta$ の正則化不完全ベータ関数の差になるため、次のように計算できます。
$$\text{分子} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \left( I_b(\alpha+1, \beta) - I_a(\alpha+1, \beta) \right)$$
4. 最終的な式の完成
求めた分子を分母で割ることで、最終的な条件付き期待値の式が得られます。
$$E[X \mid a \le X < b] = \frac{\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \left( I_b(\alpha+1, \beta) - I_a(\alpha+1, \beta) \right)}{I_b(\alpha, \beta) - I_a(\alpha, \beta)}$$
この計算は手計算で行うのは困難なため、実務上は Python の
scipy.special.betainc（正則化不完全ベータ関数）や、R言語のpbetaなどの組み込み関数を用いてプログラムで算出するのが一般的です。
正則化不完全ベータ関数を累積分布関数で表現したらどうなりますか？
正則化不完全ベータ関数 $I_x(\alpha, \beta)$ を累積分布関数（CDF）で表現する場合、主に2つの文脈（ベータ分布と二項分布）で表すことができます。
1. ベータ分布の累積分布関数として表現する場合
正則化不完全ベータ関数 $I_x(\alpha, \beta)$ は、定義そのものがパラメータ $\alpha, \beta$ を持つベータ分布 $\text{Beta}(\alpha, \beta)$ の累積分布関数 $F_{\text{Beta}}(x; \alpha, \beta)$ そのものです。
確率変数 $X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ において、$X \le x$ となる確率（累積分布関数）は次のように書けます。
$$F_{\text{Beta}}(x; \alpha, \beta) = P(X \le x) = I_x(\alpha, \beta) \quad (0 \le x \le 1)$$
そのため、前回の区間 $[a, b)$ におけるベータ分布の平均値の公式を、ベータ分布の累積分布関数 $F$ でそのまま書き換えることができます。
$$E[X \mid a \le X < b] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{F_{\text{Beta}}(b; \alpha+1, \beta) - F_{\text{Beta}}(a; \alpha+1, \beta)}{F_{\text{Beta}}(b; \alpha, \beta) - F_{\text{Beta}}(a; \alpha, \beta)}$$
2. 二項分布の累積分布関数として表現する場合（整数パラメータの場合）
パラメータ $\alpha, \beta$ が正の整数の場合、正則化不完全ベータ関数は二項分布の累積分布関数（の上側確率）と等価になります。
試行回数 $n = \alpha + \beta - 1$、成功確率 $x$ の二項分布に従う確率変数を $Y \sim \text{Binomial}(n, x)$ とし、その累積分布関数を $F_{\text{Bin}}(k; n, x) = P(Y \le k)$ と定義します。
このとき、正則化不完全ベータ関数は「$Y$ が $\alpha$ 回以上成功する確率」に対応するため、二項分布の CDF を使って次のように表現できます。
$$I_x(\alpha, \beta) = P(Y \ge \alpha) = 1 - P(Y \le \alpha - 1)$$
すなわち、累積分布関数 $F_{\text{Bin}}$ を用いると以下のようになります。
$$I_x(\alpha, \beta) = 1 - F_{\text{Bin}}(\alpha - 1; \alpha + \beta - 1, x)$$
具体的に和の形で書くと次のようになります。
$$I_x(\alpha, \beta) = \sum_{j=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{j} x^j (1-x)^{\alpha+\beta-1-j}$$
まとめ
- ベータ分布の CDF で表す場合:
$$I_x(\alpha, \beta) = F_{\text{Beta}}(x; \alpha, \beta)$$- 二項分布の CDF で表す場合 ($\alpha, \beta$ が整数のとき):$$I_x(\alpha, \beta) = 1 - F_{\text{Bin}}(\alpha - 1; \alpha + \beta - 1, x)$$
区間[x,1)の平均はどうなりますか？
区間 $[x, 1)$ におけるベータ分布の平均値は、最初にお伝えした区間 $[a, b)$ の公式において $a = x, b = 1$ を代入することで求められます。
正則化不完全ベータ関数 $I_z(\alpha, \beta)$ は、$z=1$ のとき常に $1$ となる性質（確率の総和が1であるため）を持ちます。そのため、式は次のようにシンプルになります。
$$E[X \mid x \le X < 1] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{1 - I_x(\alpha+1, \beta)}{1 - I_x(\alpha, \beta)}$$
導出の手順
前回の区間 $[a, b)$ の公式は以下の通りでした。
$$E[X \mid a \le X < b] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{I_b(\alpha+1, \beta) - I_a(\alpha+1, \beta)}{I_b(\alpha, \beta) - I_a(\alpha, \beta)}$$
ここで、$a = x, b = 1$ を代入します。
$$E[X \mid x \le X < 1] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{I_1(\alpha+1, \beta) - I_x(\alpha+1, \beta)}{I_1(\alpha, \beta) - I_x(\alpha, \beta)}$$
正則化不完全ベータ関数は累積分布関数そのものであり、確率変数が $1$ 以下になる確率は $100\%$ であるため、パラメータに関わらず $I_1(\cdot, \cdot) = 1$ となります。すなわち、以下の2つが成り立ちます。
- $I_1(\alpha+1, \beta) = 1$
- $I_1(\alpha, \beta) = 1$
これらを式に適用すると、最終的な式が得られます。
$$E[X \mid x \le X < 1] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{1 - I_x(\alpha+1, \beta)}{1 - I_x(\alpha, \beta)}$$
累積分布関数（CDF）を用いた表現
前回解説したように、$I_x(\alpha, \beta)$ はベータ分布の累積分布関数 $F_{\text{Beta}}(x; \alpha, \beta)$ と等価です。また、$1 - F_{\text{Beta}}(x)$ は「上側確率（生存関数）」を表します。
これを用いて式を書き換えると、以下のようになります。
$$E[X \mid x \le X < 1] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \cdot \frac{1 - F_{\text{Beta}}(x; \alpha+1, \beta)}{1 - F_{\text{Beta}}(x; \alpha, \beta)}$$
ありがとう。
どういたしまして！
ベータ分布の切断平均（条件付き期待値）の計算について、お役に立てたなら幸いです。
また統計や確率、計算実装などについて気になることや疑問が出てきましたら、いつでもお気軽にお声がけください！
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