度数分布のグラフをベータ分布のグラフで近似する

　シミュレーションで得られたグラフがベータ分布に似ているからベータ分布で近似することにしてGeminiに教わった。必要ない質問と回答は省き、質問の順番を入れ替えて記録しておく。

区間 $[0, 1]$ で定義された離散的な度数分布（またはヒストグラムなど）のグラフ $f(x)$ について、平均値と分散値の求め方を解説します。

$x$ が取り得る値が離散的（飛び飛びの値）である場合と、連続的な確率密度関数とみなす場合で少し表記が変わりますが、基本的な考え方は同じです。ここでは一般的によく使われる「階級値（または観測点）と度数」が与えられている場合の求め方を説明します。

1. 基本的なデータ構造の仮定

• $x_i$：各階級の代表値（横軸の値。$0 \le x_i \le 1$）
• $f_i$ または $f(x_i)$：各 $x_i$ における度数（または相対度数、確率）
• 総度数 $N = \sum f_i$ （※もし $f(x)$ がすでに総和が $1$ になるように正規化された確率質量関数や相対度数の場合は $N = 1$ として扱えます）

2. 平均値（期待値）の求め方

平均値 $\mu$ は、「値 × 重み（度数）」の総和を「重みの総和」で割ることで求められます。

$$\mu = \frac{\sum_{i} x_i f(x_i)}{\sum_{i} f(x_i)}$$

• ※$f(x)$ がすでに相対度数（総和が $1$）に変換されている場合は、分母は $1$ になるため $\mu = \sum x_i f(x_i)$ となります。

3. 分散の求め方

分散 $\sigma^2$ は、「（値 － 平均）の2乗 × 重み」の総和を重みの総和で割ったものです（「2乗の平均 － 平均の2乗」でも計算できます）。

計算方法 A：定義通り（平均からの偏差の2乗平均）

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i} (x_i - \mu)^2 f(x_i)}{\sum_{i} f(x_i)}$$

計算方法 B：計算が楽な公式（2乗の平均 － 平均の2乗）

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i} x_i^2 f(x_i)}{\sum_{i} f(x_i)} - \mu^2$$

まとめ（計算の手順）

1. 各点 $x_i$ とその度数 $f(x_i)$ の積 $x_i f(x_i)$ を足し合わせて、総度数で割り平均値 $\mu$ を求めます。
2. 各点について $x_i^2 f(x_i)$ を足し合わせて総度数で割り、「2乗の平均」を求めます。
3. 「2乗の平均」から「平均の2乗 ($\mu^2$)」を引くことで分散 $\sigma^2$ を求めます。

ベータ分布の変域を標準の $[0, 1]$ から任意の区間 $[a, b]$ に線形変換（拡大・縮小と平行移動）したときの、平均と分散の関係について解説します。

$X$ を標準ベータ分布に従う確率変数（変域 $[0, 1]$）とし、それを $[a, b]$ に拡張した確率変数を $Y$ とします。

1. 確率変数の変換関係

$X$ から $Y$ への変換は次のように表されます。

$$Y = (b - a)X + a$$

このとき、標準ベータ分布（$X$）の平均を $\mu_X$、分散を $\sigma_X^2$ とし、変換後の分布（$Y$）の平均を $\mu_Y$、分散を $\sigma_Y^2$ とします。

2. 平均値の関係と逆算方法

平均値の性質（期待値の線形性）により、平均は次のように変換されます。

$$\mu_Y = (b - a)\mu_X + a$$

したがって、$Y$ の平均値 $\mu_Y$ から標準ベータ分布の平均値 $\mu_X$ を求める公式は次のようになります。

$$\mu_X = \frac{\mu_Y - a}{b - a}$$

3. 分散値の関係と逆算方法

分散の性質（定数の加算は分散に影響せず、定数倍の二乗が外に出る）により、分散は次のように変換されます。

$$\sigma_Y^2 = (b - a)^2 \sigma_X^2$$

したがって、$Y$ の分散値 $\sigma_Y^2$ から標準ベータ分布の分散値 $\sigma_X^2$ を求める公式は次のようになります。

$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma_Y^2}{(b - a)^2}$$

また、標準偏差で考えると以下のようになります。

$$\sigma_X = \frac{\sigma_Y}{b - a}$$

まとめ

区間 $[a, b]$ に縮められた（あるいは引き伸ばされた）分布の平均 $\mu_Y$ と分散 $\sigma_Y^2$ が分かっている場合、標準ベータ分布（区間 $[0, 1]$）の平均 $\mu_X$ と分散 $\sigma_X^2$ は以下の計算で求められます。

• 標準ベータ分布の平均 ($\mu_X$):$$\mu_X = \frac{\mu_Y - a}{b - a}$$
• 標準ベータ分布の分散 ($\sigma_X^2$):$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma_Y^2}{(b - a)^2}$$

ベータ分布の平均値 $\mu$ と分散値 $\sigma^2$ から、形状母数 $\alpha$ と $\beta$ を求める公式は次のとおりです。

1. 求める公式

平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を用いて、$\alpha$ と $\beta$ はそれぞれ次のように表されます。

• $\alpha$ の計算式:$$\alpha = \mu \left( \frac{\mu(1 - \mu)}{\sigma^2} - 1 \right)$$
• $\beta$ 的な計算式:$$\beta = (1 - \mu) \left( \frac{\mu(1 - \mu)}{\sigma^2} - 1 \right)$$

2. 導出の仕組み

標準ベータ分布の平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ は、母数 $\alpha, \beta$ を用いて次のように定義されます。

1. 平均 ($\mu$):$$\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$
2. 分散 ($\sigma^2$):$$\sigma^2 = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}$$

この2つの連立方程式を $\alpha$ と $\beta$ について解くことで、上記の逆算公式が得られます。

はい、そのアドバイスは完全に正しいです。

区間 $[a, b]$ にスケール（拡大・縮小）されたベータ分布の確率密度関数（PDF）の式として、ご提示いただいた以下の式は数学的に正確です。

$$f(x)=\frac{(x-a)^{\alpha-1}(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\alpha+\beta-1}B(\alpha,\beta)}$$

なぜこの式になるのか（確認）

標準ベータ分布（区間 $[0, 1]$）の確率密度関数を $g(t)$ とすると、

$$g(t) = \frac{t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \quad (0 \le t \le 1)$$

これを任意の区間 $[a, b]$ に引き伸ばす変数は $x = (b-a)t + a$ （逆変換は $t = \frac{x-a}{b-a}$）となります。

確率変数の変換における微分（ヤコビアン）は $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{b-a}$ となるため、密度関数 $f(x)$ は $g(t)$ に $\frac{1}{b-a}$ を掛けたものになります。

これを整理すると、ご提示いただいた式（分母に $(b-a)^{\alpha+\beta-1}$ がかかる形）にきれいに一致します。

BETA.DIST が使えない古いバージョンのExcel（または古い関数である BETADIST を使う環境）では、おっしゃる通り直接PDFを出す機能がないため、工夫が必要です。

ベータ関数 $B(\alpha, \beta)$ をExcelで直接計算したい場合は、以下の数式でスッキリ表すことができます：

$$B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$

2. $B(\alpha, \beta)$ の正しい計算方法

Excelでベータ関数 $B(\alpha, \beta)$ を正確に計算するには、ガンマ関数の対数（GAMMALN）を使って次のように記述する必要があります。

EXP(GAMMALN(α) + GAMMALN(β) - GAMMALN(α + β))

それは非常に実践的で、コンピュータやExcelで計算する際の「桁あふれ（アンダーフロー・オーバーフロー）」を防ぐためのプロのテクニックです。

なぜグラフを描くためにわざわざ $\ln$（自然対数）を経由するのか、その論理的な理由を解説します。

1. そのまま計算することの「危険性」

Excelなどのコンピュータは、極端に大きな数や、極端に小さな数（$0.0000\dots 01$ のような数）を扱うのが非常に苦手です。一定の限界を超えると、強制的に $0$ として扱ってしまったり（アンダーフロー）、計算エラーを起こしたりします。

ベータ分布の式を再確認してみます。

$$f(x)=\frac{(x-a)^{\alpha-1}(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\alpha+\beta-1}B(\alpha,\beta)}$$

もし $\alpha$ や $\beta$ が大きな値になった場合（あるいは $x$ が $a$ や $b$ に極端に近い場合）、分子の $(x-a)^{\alpha-1}$ などは天文学的に小さな数字になり、Excelは計算の途中でこれを「$0$」と見なしてしまいます。同様に、分母の $B(\alpha,\beta)$ も極端に小さな値になります。

結果として「極小の数 $\div$ 極小の数」という処理が発生し、正しい高さが計算できずグラフの形が崩壊してしまいます。

2. $\ln$ を使って計算を安全にする魔法

そこで、「掛け算・割り算・累乗」を「足し算・引き算・掛け算」に変換できる対数 $\ln$ の性質を使います。数式全体を一度 $\ln$ の世界に持ち込むと、次のように分解できます。

$$\ln f(x) = (\alpha-1)\ln(x-a) + (\beta-1)\ln(b-x) \\ \hspace{40pt} - (\alpha+\beta-1)\ln(b-a) - \ln B(\alpha,\beta)$$

さらに、先ほど修正で使ったように、ベータ関数の対数 $\ln B(\alpha,\beta)$ はガンマ関数の対数（Excelの GAMMALN）を使って足し算・引き算で表せます。

$$\ln B(\alpha,\beta) = \ln \Gamma(\alpha) + \ln \Gamma(\beta) - \ln \Gamma(\alpha+\beta)$$

これを組み合わせると、計算中の値はせいぜい数十から数百程度の「安全な数値の足し算・引き算」だけになり、Excelが途中で $0$ に丸めてしまう事故が絶対に起きなくなります。

3. 最後に元に戻す（$\exp$）

$\ln f(x)$ の世界で安全に計算を終えたら、最後に指数関数（Excelでは EXP 関数）を使って本来の $f(x)$ の値に戻します。

$$f(x) = \exp(\ln f(x))$$

まとめ：教わった方法の意味

つまり、他の所で教わった「途中で $\ln$ を入れて計算する方法」というのは、次のようなプロセスを指しています。

1. 全体を対数化する（途中の計算で桁あふれが起きないようにする）
2. 足し算・引き算だけで $\ln f(x)$ を安全に計算する
3. 最後に $f(x) = \exp(\dots)$ で元の確率密度の値に戻す

前回、私が分母の $B(\alpha, \beta)$ を直すために EXP(GAMMALN(α) + GAMMALN(β) - ...) という数式をご提案しましたが、あれは「分母だけ」に対数のテクニックを使ったものでした。教わった方法は、それを「関数全体」に対して適用した、より完璧でエラーに強い計算方法と言えます。非常に論理的で正しいアプローチです！