ドント方式では比例代表選挙で得票率の高い大政党の議席が多くなるように配分されていることは【やっぱり比例代表制でのドント方式は大政党が得してた】で数式を使って証明したが、得票数を当選ラインの票数で割って得られた配分の小数部分である「端数」が何であるかは少し分かりにくい。改選議席と得票率の積の「小数部分」とは異なるが、「議席」と得票率の積の小数部分でもある。ただし、その「議席」は実際に配分される改選議席ではなく、改選議席に「架空の議席」を追加した「議席」である。その結果、得票率による比例配分よりも多く配分され、得票率が高いほど多く配分されてしまう。今回は、Excelを使って得票率を乱数で生成してドント方式での配分がどのようになっているか確認してみた。
政党 $i$ がドント方式で獲得できる議席数 $Y_{i}$ は、得票数 $x_{i}$ を当選ラインの票数 $D$ を使って、次のように求める。
\begin{equation}
Y_{i}=\left\lfloor \frac{x_{i}}{D} \right\rfloor \label{eq:基本の式}
\end{equation}
\eqref{eq:基本の式} の床関数の内側は小数部分を含めたドント方式による配分 $z_{i}$ で、分子と分母を総得票数（有効票数）$X$ で割ると、次のように得票率 $p_{i}$ で表せる。
\begin{equation}
z_{i}=\frac{x_{i}}{D}=\frac{\frac{x_{i}}{X}}{\frac{D}{X}}=\frac{p_{i}}{d} \label{eq:ドント方式_配分}
\end{equation}
ここで、$d=\frac{D}{X}$ は得票率での当選ラインである。
票数での当選ライン $D$ は【やっぱり比例代表制でのドント方式は大政党が得してた】で述べたように、次のように表せる。
\begin{equation}
D=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{C+\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}}=\frac{X}{C+\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}} \label{eq:当選ライン_票数}
\end{equation}
ここで $C$ は改選議席数、$n$ は立候補政党数、$\epsilon_{i}$ は $z_{i}$ の小数部分、すなわち「端数」である。
\begin{equation}
\epsilon_{i}=\{z_{i}\}=\left\{ \frac{p_{i}}{d} \right\} \label{eq:端数}
\end{equation}
\eqref{eq:当選ライン_票数} を使うことで、投票率での当選ライン $d=\frac{D}{X}$ は次のようになる。
\begin{equation}
d=\frac{D}{X}=\frac{1}{C+\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}} \label{eq:当選ライン_投票率}
\end{equation}
したがって、ドント方式による配分 $z_{i}=\frac{p_{i}}{d}$ は次のようになる。
\begin{equation}
z_{i}=\frac{p_{i}}{d}=p_{i}(C+\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i})=p_{i}(C+\Delta C) \label{eq:ドント方式_配分２}
\end{equation}
改選議席 $C$ を得票率 $p_{i}$ で比例配分した $y_{i}$ は次のように表せる。
\begin{equation}
y_{i}=p_{i}C \label{eq:比例配分}
\end{equation}
\eqref{eq:ドント方式_配分２} と \eqref{eq:比例配分} を比べると、ドント方式による配分 $z_{i}$ は議席数 $(C+\Delta C)$ を得票率 $p_{i}$ で比例配分したことになる。すなわち、改選議席 $C$ に「架空の議席」$\Delta C$ を追加した「議席」$(C+\Delta C)$ を得票率 $p_{i}$ 比例配分した状態で、その「架空の議席」$\Delta C$ は「端数」の合計 $\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}$ である。
\begin{equation}
\Delta C=\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i} \label{eq:架空の議席}
\end{equation}
そして、$z_{i}$ の小数部分である「端数」$\epsilon_{i}$ は「議席」$(C+\Delta C)$ と得票率 $p_{i}$ の積の小数部分でもある。
\begin{equation}
\epsilon_{i}=\{z_{i}\}=\left\{ p_{i}(C+\Delta C) \right\} \label{eq:端数２}
\end{equation}
さて、改選議席 $C$ を得票率 $p_{i}$ で比例配分した $y_{i}$ とドント方式による配分 $z_{i}$ は \eqref{eq:ドント方式_配分２} と \eqref{eq:比例配分} から次のような関係にあることが分かる。
\begin{equation}
z_{i}=p_{i}(C+\Delta C) = p_{i}C+p_{i}\Delta C = y_{i}+p_{i}\Delta C \label{eq:ドント方式配分と比例配分}
\end{equation}
すなわち、ドント方式による配分 $z_{i}$ は得票率 $p_{i}$ による比例配分 $y_{i}$ よりも $p_{i}\Delta C$ だけ多く、その差は得票率が $p_{i}$ が高いほど大きくなる。政党 $i$ がドント方式で獲得できる議席数 $Y_{i}$ は、$z_{i}$ の整数部分なので、ドント方式は大政党ほど有利になる。
\begin{align}
Y_{i} &= \lfloor z_{i} \rfloor \notag\\
&= \lfloor y_{i}+p_{i}\Delta C \rfloor \notag\\
&= \left\lfloor \lfloor y_{i}\rfloor+\{y_{i}\}+p_{i}\Delta C \right\rfloor \notag\\
&= \lfloor y_{i}\rfloor+ \lfloor \{y_{i}\}+p_{i}\Delta C \rfloor \label{eq:ドント方式による獲得議席}
\end{align}
式 \eqref{eq:ドント方式による獲得議席} の第１項 $\lfloor y_{i}\rfloor$ は改選議席 $C$ を得票率 $p_{i}$ で比例配分した $y_{i}$ の整数部分である。第２項 $\lfloor \{y_{i}\}+p_{i}\Delta C \rfloor$ で追加議席を獲得できれば、獲得議席が増える。
第２項は $y_{i}$ の小数部分 $\{y_{i}\}$ に $p_{i}\Delta C$ を加えて、１を超えれば１議席が追加され、２を超えれば２議席が追加され、整数 $m$ を超えれば $m$ 議席が追加される。$\Delta C$ は定数なので、得票率 $p_{i}$ が高いほど、追加議席を獲得しやすいことが \eqref{eq:ドント方式による獲得議席} によって示されている。
ところで、「架空の議席」$\Delta C$ が分かれば、\eqref{eq:ドント方式配分と比例配分} や \eqref{eq:ドント方式による獲得議席} から獲得議席を算出することができるが、$\Delta C$ の値を確定するのは当選ライン $d$ を確定するよりも手間がかかるので、実用的ではない。ドント方式による改選議席の配分は、改選議席に「架空の議席」を追加した議席数を得票率で比例配分して整数部分を獲得議席として配分したような結果になる、と意識しておくだけである。実際、Excelを使った１万件のシミュレーションで確認した「架空の議席」の分布は次のグラフのようになっていて、横軸をいろいろと変えてみたが、数式で表現できるような規則性は見つからなかった。「端数」の合計と等しくなるなどドント方式による配分のいくつかの結果とは数式で表現できる関係が見られるが、「架空の議席」はドント方式による配分の結果なので当然である。
ただし、「架空の議席」$\Delta C$ を式 \eqref{eq:架空の議席} で求められる正確な値ではなく、$\Delta C \ge \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}$ の適当な値にして計算しても、$\sum_{i=1}^{n} \lfloor z_{i} \rfloor = C$ を満たしてドント方式による配分と同じ結果になることがあるので、そのように $\Delta C$ を決めることも可能である。説明可能な正当性は無いが、この手法で議席を配分することができるということは、ドント方式が最大剰余方式で見られる「アラバマのパラドックス」に似た状態を引き起こすことを示唆している。「アラバマのパラドックス」で議席を失うのは得票率の低い小さな政党である。しかも、最大剰余方式で議席を増やした場合は全ての議席を配分するのに対して、ドント方式では追加した「架空の議席」の分は配分しない。すなわち、「アラバマのパラドックス」のように大政党が有利な状態にしておいて、さらに小さな政党が下位で議席を獲得できないようにもしている。最大剰余方式と比較してドント方式を推している人たちは、そのことを自覚してほしい。
さて、得票率 $p_{i}$ とドント方式による配分 $z_{i}=\frac{p_{i}}{d}$ の関係をグラフにすると次のようになる。Excelを使ったシミュレーションの１万件の結果である。
全てのプロットが $y_{i}=p_{i} C$ のラインよりも上にあることが分かる。式 \eqref{eq:ドント方式配分と比例配分} の状態を表している。このグラフは $C=10$ の場合であるが、得票率が高いと $p_{i}\Delta C$ が３議席を超えることがあるのに対して、得票率が低い場合は $p_{i}\Delta C$ も小さく、大政党の方が有利なことが示されている。
得票率 $p_{i}$ とドント方式による獲得議席 $Y_{i}=\lfloor z_{i} \rfloor$ の関係をグラフにすると次のようになる。$z_{i}$ の小数部分「端数」が切り捨てられて、すぐ下の整数に移っている。切り捨てられた「端数」は $0 \le \epsilon_{i} \lt 1$ で大政党も小政党も同じである。
最後に、シミュレーションの内の３件を載せておく。同じ得票率で、ドント方式による配分の結果、最大剰余方式による配分の結果、「架空議席」を追加して得票率で比例配分した結果を比較してある。
事例１のドント方式での当選ラインは政党5の得票率と同じ 0.0740 で、それよりも低い投票率の政党6が議席を獲得できていない。しかし、最大剰余方式なら政党6も１議席を獲得できる。ドント方式での「端数」の合計と同じ3.513514議席を「架空議席」として追加してから得票率で比例配分した結果がドント方式による配分と同じになっていることが分かる。そして「架空議席」を４議席にした場合は、比例配分の結果はドント方式の結果とは異なるが「整数部分」の議席は同じになった。合計議席10議席を最大剰余方式で配分した場合は政党6は10番目の議席として１議席を獲得できたが、合計議席を増やして14議席を最大剰余方式と同じように得票率で配分した場合は14番目の議席に順位が落ち、実際には10議席しかないので、１議席を失った。ただし、14議席を最大剰余方式で配分したのなら、14番目の議席として１議席を獲得できた。
事例２のドント方式での当選ラインは政党1の得票率を５で割った 0.07396 で、それよりも低い投票率の政党5が議席を獲得できていない。しかし、最大剰余方式なら政党5も10番目の議席として１議席を獲得できる。ドント方式での「端数」の合計と同じ3.520822議席を「架空議席」として追加してから得票率で比例配分した結果がドント方式による配分と同じになっていることが分かる。そして「架空議席」を４議席にした場合は、比例配分の結果は「整数部分」の議席の合計が11議席になり改選議席数よりも多くなってしまった。「当選ライン」を使わずに「架空議席」を決める難しさが表れている。
事例３のドント方式での当選ラインは政党4の得票率と同じ 0.0678 で、それよりも低い投票率の政党5と政党6が議席を獲得できていない。しかし、最大剰余方式なら政党5と政党6も１議席を獲得できる。ドント方式での「端数」の合計と同じ4.749263議席を「架空議席」として追加してから得票率で比例配分した結果がドント方式による配分と同じになっていることが分かる。そして「架空議席」を５議席にした場合は、比例配分の結果はドント方式の結果とは異なるが「整数部分」の議席は同じになった。合計議席10議席を最大剰余方式で配分した場合は政党5は9番目の議席として、政党6は10番目の議席として１議席を獲得できたが、合計議席を増やして15議席を最大剰余方式と同じように得票率で配分した場合は政党5は12番目の議席に、政党6は13番目に順位が落ち、実際には10議席しかないので、どちらも１議席を失った。ただし、15議席を最大剰余方式で配分したのならどちらも１議席を獲得できた。
式 \eqref{eq:比例配分} で分かるように、得票率に沿って比例配分した場合、改選議席が多くなれば得票率の低い政党より高い政党の方が議席を増やしやすく、改選議席が少なくなれば得票率の低い政党より高い政党の方が議席を失いやすい。ドント方式は「架空の議席」を追加して議席数を増やして比例配分した結果と同じになるので、得票率の高い政党が有利になるように仕組まれた配分方法だと言える。比例代表選挙でドント方式を採用している日本は、速やかに最大剰余方式に改めるべきである。
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