比例代表制の選挙での議席の配分は各政党の得票率にできるだけ近い方法が良いが、残念ながら現在のドント方式は【やっぱり比例代表制でのドント方式は大政党が得してた】に書いたように大政党に有利で得票率からのずれが大きくなる。得票率に比例した議席数の配分に最も近いのは最大剰余方式だが、議席数は整数でなくてはいけないので小数点以下の値を議席数に反映させる際に多少のずれはある。このずれが原因で「アラバマのパラドックス」が起こるのだが、改善議席数が変わらない通常の選挙では起こりようがない。それに対して、ドント方式では大政党が有利になる状態は常に起こりうる。また、最大剰余方式には「人口パラドックス」と呼ばれている現象もあるが、これは非常に起こりにくいらしい。いつかは確率を数式にしたい。
「アラバマのパラドックス」が起こる確率を調べたくてExcelを使ったシミュレーションで意図的に「アラバマのパラドックス」を起こしていたのだが、その際に気付いたことがあるので、メモしておく。
次の三つの事例は架空の選挙結果で「アラバマのパラドックス」が起こった状態である。事例１と事例２は、改選議席数が「10」から「11」に増えたことで、得票率が変わってないのに「政党４」は議席数を一つ減らし、「政党１」と「政党２」は議席数をそれぞれ一つづつ増やした。事例３では「政党４」と「政党５」が議席数をそれぞれ一つづつ減らし、「政党１」と「政党２」と「政党３」は議席数をそれぞれ一つづつ増やした。
この結果を数式を使って考察してみる。
改選議席数を $C$、政党$i$ の得票率を $p_{i}$ とすると、政党 $i$ に得票率で比例配分される議席数 $y_{i}$ は $C \times p_{i}$ である（注意：この値は小数）。改選議席数が一つ増えて $C+1$ になった場合に、増加した比例配分議席数を $\Delta y_{i}$ とすると、次のようになる。
\begin{equation}\begin{split}
y_{i}+\Delta y_{i} &= (C+1) \times p_{i}\\
&= C \times p_{i} + p_{i} \label{eq:改選後比例配分議席数}
\end{split}\end{equation}
\begin{equation}
\Delta y_{i} = p_{i} \label{eq:改選後比例配分議席数_増加分}
\end{equation}
改選議席数が一つ増えた「今回」の「比例配分議席数」は改選議席数が増える前の「前回」の「比例配分議席数」に「得票率」を足した値になる。比例配分議席数 $y_{i}$ を整数部分 $ \lfloor y_{i} \rfloor$ と小数部分 $\{ y_{i} \}$ に分けると「今回」の整数部分は次のようになる。
\begin{equation}\begin{split}
\lfloor y_{i}+\Delta y_{i} \rfloor &= \lfloor y_{i} + p_{i} \rfloor \\
&= \left\lfloor \lfloor y_{i} \rfloor + \{ y_{i} \} + \lfloor p_{i} \rfloor + \{ p_{i} \} \right\rfloor \\
&= \lfloor y_{i} \rfloor + \left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor \label{eq:改選後比例配分議席数_整数部分}
\end{split}\end{equation}
\eqref{eq:改選後比例配分議席数_整数部分} の第２項 $\left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor$ が１になると、「今回」の整数部分が「前回」よりも１議席増える。しかし、「前回」も「今回」も整数部分だけで議席数が決まるわけではない。小数部分の比較で決まる議席が残っている。「今回」の小数部分は次のようになる。
\begin{equation}\begin{split}
\{ y_{i}+\Delta y_{i} \} &= \{ y_{i} + p_{i} \} \\
&= \left\{ \lfloor y_{i} \rfloor + \{ y_{i} \} + \lfloor p_{i} \rfloor + \{ p_{i} \} \right\} \\
&= \left\{ \{ y_{i} \} + p_{i} \right\} \label{eq:改選後比例配分議席数_小数部分}
\end{split}\end{equation}
改めて、「前回」と「今回」の「比例配分議席数」を並べて書くと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{cases}
y_{i} &= \lfloor y_{i} \rfloor + \{ y_{i} \}\\
y_{i}+\Delta y_{i} &= \lfloor y_{i} \rfloor + \left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor + \left\{ \{ y_{i} \} + p_{i} \right\} \label{eq:比例配分議席数}
\end{cases}
\end{equation}
「今回」の式の第２項と第３項は $(\{ y_{i} \} + p_{i})$ （「前回」の「小数部分」と「得票率」の和）の「整数部分」と「小数部分」である。
「前回」に小数部分 $\{ y_{i} \}$ の比較で１議席獲得していたら、「今回」の $\left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor$ が１になって整数部分で１議席増えても小数部分 $\left\{ \{ y_{i} \} + p_{i} \right\}$ の比較で負けて１議席を獲得できなかったら、「前回」と変わらないことになる。
そして、「前回」に小数部分 $\{ y_{i} \}$ の比較で１議席を獲得していても、「今回」の $\left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor$ が０で、小数部分 $\left\{ \{ y_{i} \} + p_{i} \right\}$ の比較でも１議席を獲得できなかったら、１議席減らすことになる。これが「アラバマのパラドックス」を数式で見た状態である。逆に、「今回」の $\left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor$ が１になれば、小数部分 $\left\{ \{ y_{i} \} + p_{i} \right\}$ の比較で負けても、議席を減らすことはなく、「アラバマのパラドックス」は起こらない。
次に小数部分の比較について考察する。
まずは、得票率で比例配分される議席数 $y_{i}$ の整数部分 $\lfloor y_{i} \rfloor$ が各政党に配分され、その総数が改選議席数 $C$ に達しなかった場合に、小数部分 $\{ y_{i} \}$ の大きい順に残りの議席数を配分する。それが「最大剰余方式」である。
この「残りの議席数」が「前回」と「今回」では異なることがある。したがって、「前回」は小数部分の比較で３位までが１議席多く獲得できていたのに「今回」は２位までしか１議席多く獲得できないというようなことが起こりうる。この「残りの議席数」は次のようになる。ここで $n$ は立候補した政党の数である。
\begin{empheq}[left={残りの議席数=\empheqlbrace}]{align}
& C - \sum_{i=1}^{n} \left( \lfloor y_{i} \rfloor \right) &&(前回)\\
& C+1 - \sum_{i=1}^{n} \left( \lfloor y_{i} \rfloor \right) - \sum_{i=1}^{n} \left( \left\lfloor \{ y_{i} \} + p_{i} \right\rfloor \right) &&(今回)
\end{empheq}
以上を踏まえて、「アラバマのパラドックス」を起こした上記の事例を見てみる。
事例１は政党１と政党２が「今回」は「前回」よりも１議席多く獲得して、政党４が１議席を失っている。政党１と政党２は「整数部分」で既に１議席増やしているが、政党４は0のまま変わらない。「整数部分」で決まらなかった「残りの議席数」は「前回」は $10-7=3$ 議席であるが「今回」は $11-9=2$ 議席で「前回」よりも１議席少ない。政党１と政党２は「小数部分」の比較で「前回」も「今回」も１位と２位なので、１議席追加している。それに対し、政党４は「小数部分」の比較で「前回」は３位で１議席を獲得できたが、「今回」は４位なので議席を獲得できなかった。たとえ「前回」と同じ３位でも、「今回」は「小数部分」で２議席しか争えないので、落選していた。その結果、政党４の「今回」は $0$ 議席となり、「アラバマのパラドックス」が起こった。
事例２も政党１と政党２が「今回」は「前回」よりも１議席多く獲得して、政党４が１議席を失っている。しかし、事例１と異なり、政党１も政党２も「整数部分」は「前回」と同じである。政党４も0のまま変わらない。「整数部分」で決まらなかった「残りの議席数」は「前回」は $10-8=2$ 議席で「今回」は $11-8=3$ 議席で「前回」よりも１議席多い。すなわち、「小数部分」の比較で１議席を獲得できるのは、「前回」は２位までだったが「今回」は３位までが獲得できる。政党１と政党２は「前回」は３位と４位で１議席を獲得できなかったが、「今回」は２位と３位で１議席を獲得している。それに対し、政党４は「前回」は２位で１議席を獲得できたが「今回」は４位で獲得できなかった。その結果、政党４の「今回」は $0$ 議席となり、「アラバマのパラドックス」が起こった。
事例３では政党１と政党２と政党３が、「今回」は「前回」よりも１議席多く獲得して、政党４と政党５が１議席を失っている。事例１や事例２と異なり、二つの政党が議席を減らしている。事例２と同じで「整数部分」はどの政党も「前回」と「今回」が同じである。そして、「残りの議席数」も事例２と同じで、「前回」は $10-8=2$ 議席で「今回」は $11-8=3$ 議席である。さて、「小数部分」の順位を見ると、政党１と政党２と政党３は「前回」は３位、７位、６位で１議席を獲得できなかったが、「今回」は１位と３位と２位で１議席を獲得している。それに対し、政党４と政党５は、「前回」は１位と２位で１議席を獲得できたが「今回」は４位と５位で獲得できなかった。その結果、政党４と政党５の「今回」は $0$ 議席となり、「アラバマのパラドックス」が起こった。
ところで、横軸（x軸）を得票率、縦軸（y軸）を議席数にして「今回」の結果をグラフにすると、次のようになる。
議席数は整数にしかならないので、実際の議席数は得票率に比例した議席数（ $y=11x$ の直線）から少し離れている。それでも、できるだけ近づくように議席数が決まっているはずである。それは、次のように証明できる。
政党 $i$ が獲得した議席数を $Y_{i}$ とすると、得票率で比例配分される議席数 $y_{i}$ との差の総和 $S_{d}$ あるいは 差の二乗の総和 $S_{sd}$ ができるだけ小さい方が良い。
\begin{empheq}[left={\empheqlbrace}]{align}
S_{d} &= \sum_{i=1}^{n}|Y_{i}-y_{i}| \label{eq:理想と現実の差}\\
S_{sd} &= \sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-y_{i})^{2} \label{eq:理想と現実の差の二乗}
\end{empheq}
$Y_{i}$ を $y_{i}$ の「整数部分」で獲得した議席数 $\lfloor y_{i} \rfloor$ と「小数部分」で獲得した議席数 $r_{i}$ に分けると、$Y_{i}-y_{i} = r_{i}-\{ y_{i} \}$ なので、\eqref{eq:理想と現実の差} と \eqref{eq:理想と現実の差の二乗} は次のようになる。
\begin{empheq}[left={\empheqlbrace}]{align}
S_{d} &= \sum_{i=1}^{n}|r_{i}-\{ y_{i} \}| \label{eq:理想と現実の差２}\\
S_{sd} &= \sum_{i=1}^{n}(r_{i}-\{ y_{i} \})^{2} \label{eq:理想と現実の差の二乗２}
\end{empheq}
$0 \le \{ y_{i} \} \lt 1$ なので、$S_{d}$ や $S_{sd}$ をできるだけ小さくするには、$r_{i} \ge 2$ でない方が良い。すなわち、$r_{i} = 0$ または $r_{i} = 1$ （$r_{i}$ は定義により整数）である。したがって、\eqref{eq:理想と現実の差２} の $|r_{i}-\{ y_{i} \}|$ は次の二つのどちらかである。
\begin{empheq}[left={|r_{i}-\{ y_{i} \}|=\empheqlbrace}]{align}
& \{ y_{i} \} &&(r_{i}=0) \\
& 1-\{ y_{i} \} &&(r_{i}=1) \label{eq:理想と現実の差２の場合分け}
\end{empheq}
したがって、$S_{d}$ をできるだけ小さくするには、$r_{i}=0$ の場合は $\{ y_{i} \}$ は小さい方が良く、$r_{i}=1$ の場合は $1-\{ y_{i} \}$ が小さい（ $\{ y_{i} \}$ が大きい）方が良い。すなわち、得票率で比例配分される議席数 $y_{i}$ の「整数部分」で配分された後の残りの議席の配分は「小数部分」 $\{ y_{i} \}$ の大きい順に配分した方が $S_{d}$ が小さくなる。
また、\eqref{eq:理想と現実の差の二乗２} の $(r_{i}-\{ y_{i} \})^{2}$ は次の二つのどちらかである。
\begin{empheq}[left={(r_{i}-\{ y_{i} \})^{2}=\empheqlbrace}]{align}
& \{ y_{i} \}^{2} &&(r_{i}=0) \\
& (1-\{ y_{i} \})^{2} &&(r_{i}=1) \label{eq:理想と現実の差の二乗２の場合分け}
\end{empheq}
したがって、$S_{sd}$ をできるだけ小さくするには、$r_{i}=0$ の場合は $\{ y_{i} \}$ は小さい方が良く、$r_{i}=1$ の場合は $(1-\{ y_{i} \})$ が小さい（ $\{ y_{i} \}$ が大きい）方が良い。すなわち、得票率で比例配分される議席数 $y_{i}$ の「整数部分」で配分された後の残りの議席の配分は「小数部分」 $\{ y_{i} \}$ の大きい順に配分した方が $S_{sd}$ が小さくなる。
もう少し厳密に証明すると、次のようになる。
今、$\{y_{i}\} > \{y_{j}\}$ という2つの値があり、「大きい方の $\{y_{i}\}$ を $r_{i}=1$ に選び、小さい方の $\{y_{j}\}$ を $r_{j}=0$ にした場合」（大きい順）と「あえて小さい方の $\{y_j\}$ を $r_j=1$ に選び、大きい方の $\{y_i\}$ を $r_i=0$ にした場合」（小さい順）を比較する。
$S_{d}$ の他の部分は同じなので、「大きい順」と「小さい順」の $S_{d}$ の差は次のようになる。
\begin{equation}\begin{split}
&大きい順 &&- 小さい順\\
=& (1-\{ y_{i} \}+\{ y_{j} \}) &&- (1-\{ y_{j} \}+\{ y_{i} \}) \\
=& 2(\{ y_{j} \}-\{ y_{i} \}) \lt 0\\
\end{split}\end{equation}
すなわち、「大きい順」の $S_{d}$ は「小さい順」の $S_{d}$ よりも小さい。だから、$\{ y_{i} \}$ の大きい順に配分した方が $S_{d}$ が小さくなる。
「大きい順」と「小さい順」の $S_{sd}$ の差は次のようになる。
\begin{equation}\begin{split}
&大きい順 &&- 小さい順\\
=& ((1-\{ y_{i} \})^{2}+\{ y_{j} \}^{2}) &&- ((1-\{ y_{j} \})^{2}+\{ y_{i} \}^{2}) \\
=& (1-2\{ y_{i} \}+\{ y_{i} \}^{2}+\{ y_{j} \}^{2}) &&- (1-2\{ y_{j} \}+\{ y_{j} \}^{2}+\{ y_{i} \}^{2}) \\
=& 2(\{ y_{j} \}-\{ y_{i} \}) \lt 0\\
\end{split}\end{equation}
すなわち、「大きい順」の $S_{sd}$ は「小さい順」の $S_{sd}$ よりも小さい。だから、$\{ y_{i} \}$ の大きい順に配分した方が $S_{sd}$ が小さくなる。
次のグラフはExcelで最大剰余方式での配分をシミュレーションした１万件のデータから、１政党分の得票率と獲得議席数の関係をプロットしたものである。得票率の順位は固定していない。グラフには得票率で比例配分された場合に相当する傾き10の直線（$y=10x$）と傾き11の直線（$y=11x$）も引いてある。10議席を配分した場合も11議席を配分した場合も、得票率で比例配分された場合に沿っていることが分かる。
比較のため、ドント方式で10議席や11議席を配分した場合も確認してグラフにした。次のように、得票率が高くなると、配分される議席数が得票率で比例配分された場合に相当する傾き10の直線（$y=10x$）や傾き11の直線（$y=11x$）よりも大きくなっている。
ドント方式での配分が大政党に有利で、最大剰余方式での配分の方が民意である得票率に近いことが、シミュレーション結果からも分かった。
最後に、「アラバマのパラドックス」が起こる確率であるが、数式で示すことはできないが、Excelでランダムに得票率を決めて１万件を計算し、その内の何件が「アラバマのパラドックス」を起こしたかを数えた。改選議席数と立候補政党数を変えて何度か試した結果の、現在の最小件数と最大件数は次の表のとおりである。
| 改選議席数 | 立候補政党数 | アラバマのパラドックスの発生数 | |
|---|---|---|---|
| 最小 | 最大 | ||
| 20 | 12 | 861 | 958 |
| 20 | 10 | 808 | 848 |
| 20 | 8 | 675 | 737 |
| 10 | 12 | 641 | 733 |
| 10 | 10 | 560 | 641 |
| 10 | 8 | 470 | 554 |
| 8 | 12 | 554 | 636 |
| 8 | 10 | 503 | 540 |
| 8 | 8 | 462 | 473 |
改選議席数が多いほど、立候補政党数が多いほど「アラバマのパラドックス」が起こりやすい傾向が見られるが、このシミュレーションは乱数を使って得票率を作成し、一強多弱になりやすいように設定してあるからかもしれない。乱数で生成した１政党分の１万件の得票率の分布は次のようになっている。
順位で並べ替えると次のようになる。
今回は、このような得票率の分布でシミュレーションを行った。
二大政党になりやすくしたり、得票率の格差が小さくなりやすくするなど得票率の分布傾向を変えると改選議席数や候補政党数の影響も変わる。シミュレーションする前には高くても数％と聞いていたが、改選議席数をさらに増やすなど変数を変えて試したら、10％を超える確率になることもあることが分かった。
しかし、民意を表す得票率での比例配分に最も近い方式であることは最大剰余方式の一番のメリットである。
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