2024/6/22のテレビ東京「乃木坂工事中」で知った特殊なルールのじゃんけんが面白かった。
ルールは次の通り。
- グーとチョキで分かれたらグーの勝ち
- チョキとパーで分かれたらチョキの勝ち
- パーとグーで分かれたらパーの勝ち
- グー、チョキ、パーで分かれたらチョキの勝ち
- 全員グーならやり直し
- 全員パーならやり直し
- 全員チョキなら全員負け
全員チョキなら全員負けになるリスクがあるが、グー、チョキ、パーで分かれたらチョキが勝てるので、チョキを出した方が有利に思えるじゃんけんである。しかし、じゃんけんの前に次のようなルールがある。
- じゃんけんの前に３人で話し合って、他の２人が何を出すか探る。
この話し合いで他の２人が何を出しそうか、何を出さなそうかが分かると、必ずしもチョキを出した方が有利とは限らない。
まず、ｘ、ｙ、ｚの３人がじゃんけんをした場合の起こりうるパターンとｘの勝敗（勝ち：○、負け：●）を表にすると次のようなる。
| ｘ | ｙ | ｚ | ｘの勝敗 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | グー | グー | グー | – |
| 2 | チョキ | ○ | ||
| 3 | パー | ● | ||
| 4 | チョキ | グー | ○ | |
| 5 | チョキ | ○ | ||
| 6 | パー | ● | ||
| 7 | パー | グー | ● | |
| 8 | チョキ | ● | ||
| 9 | パー | ● | ||
| 10 | チョキ | グー | グー | ● |
| 11 | チョキ | ● | ||
| 12 | パー | ○ | ||
| 13 | チョキ | グー | ● | |
| 14 | チョキ | ● | ||
| 15 | パー | ○ | ||
| 16 | パー | グー | ○ | |
| 17 | チョキ | ○ | ||
| 18 | パー | ○ | ||
| 19 | パー | グー | グー | ○ |
| 20 | チョキ | ● | ||
| 21 | パー | ○ | ||
| 22 | チョキ | グー | ● | |
| 23 | チョキ | ● | ||
| 24 | パー | ● | ||
| 25 | パー | グー | ○ | |
| 26 | チョキ | ● | ||
| 27 | パー | – |
結果をまとめると次の通り。
- グーで勝つ確率は\(\frac{3}{9}\)、負ける確率は\(\frac{5}{9}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{5}{9}\)、負ける確率は\(\frac{4}{9}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{3}{9}\)、負ける確率は\(\frac{5}{9}\)
チョキを出した方が勝つ確率が高いことが分かる。
しかし、じゃんけんの前の話し合いで、勝つ確率の高いチョキをｙが出すことが分かっていたら変わる。一覧にすると次の表のようになる。
| ｘ | ｙ | ｚ | ｘの勝敗 | |
|---|---|---|---|---|
| 4 | グー | チョキ | グー | ○ |
| 5 | チョキ | ○ | ||
| 6 | パー | ● | ||
| 13 | チョキ | チョキ | グー | ● |
| 14 | チョキ | ● | ||
| 15 | パー | ○ | ||
| 22 | パー | チョキ | グー | ● |
| 23 | チョキ | ● | ||
| 24 | パー | ● |
勝率は次のように変わって、グーを出した方が勝つ確率が高くなる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{2}{3}\)、負ける確率は\(\frac{1}{3}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{1}{3}\)、負ける確率は\(\frac{2}{3}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{0}{3}\)、負ける確率は\(\frac{3}{3}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙがグーを出すことが分かっていたら次のようになる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{1}{3}\)、負ける確率は\(\frac{1}{3}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{1}{3}\)、負ける確率は\(\frac{2}{3}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{2}{3}\)、負ける確率は\(\frac{1}{3}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙがパーを出すことが分かっていたら次のようになる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{0}{3}\)、負ける確率は\(\frac{3}{3}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{3}{3}\)、負ける確率は\(\frac{0}{3}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{1}{3}\)、負ける確率は\(\frac{1}{3}\)
このように、相手のどちらか一方（上の例ではｙ）が何を出すかが、ほぼ分かっていれば、その相手に勝てるように何を出すかを決めれば良い。普通のじゃんけんと同じである。
では、じゃんけんの前の話し合いで、ｙがパーを出さないことが分かっていたらどうなるか。一覧にすると次の表のようになる。
| ｘ | ｙ | ｚ | ｘの勝敗 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | グー | グー | グー | – |
| 2 | チョキ | ○ | ||
| 3 | パー | ● | ||
| 4 | チョキ | グー | ○ | |
| 5 | チョキ | ○ | ||
| 6 | パー | ● | ||
| 10 | チョキ | グー | グー | ● |
| 11 | チョキ | ● | ||
| 12 | パー | ○ | ||
| 13 | チョキ | グー | ● | |
| 14 | チョキ | ● | ||
| 15 | パー | ○ | ||
| 19 | パー | グー | グー | ○ |
| 20 | チョキ | ● | ||
| 21 | パー | ○ | ||
| 22 | チョキ | グー | ● | |
| 23 | チョキ | ● | ||
| 24 | パー | ● |
勝率は次のようになって、グーを出した方が勝つ確率が高くなる。グーかチョキを出すｙに負けないように出せば良い。
- グーで勝つ確率は\(\frac{3}{6}\)、負ける確率は\(\frac{2}{6}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{2}{6}\)、負ける確率は\(\frac{4}{6}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{2}{6}\)、負ける確率は\(\frac{4}{6}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙがグーを出さないことが分かっていたら次のようになる。こちらも、チョキかパーを出すｙに負けないようにチョキを出せば良い。
- グーで勝つ確率は\(\frac{2}{6}\)、負ける確率は\(\frac{4}{6}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{4}{6}\)、負ける確率は\(\frac{2}{6}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{1}{6}\)、負ける確率は\(\frac{4}{6}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙがチョキを出さないことが分かっていたら次のようになる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{1}{6}\)、負ける確率は\(\frac{4}{6}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{4}{6}\)、負ける確率は\(\frac{2}{6}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{3}{6}\)、負ける確率は\(\frac{2}{6}\)
この場合は、パーかグーを出すｙに負けないようにパーを出すよりも、チョキを出した方が勝つ確率が高くなる。これは、グー、チョキ、パーで分かれたら通常なら引き分けなのにチョキの勝ちだからである。さらに、特殊ルールである「全員チョキなら全員負け」が起こらなくなるので、その特殊ルールで負けるリスクもない。
このように、このじゃんけんでは、対戦相手である２人の内の一人が何を出すか、あるいは出さないか予想できたら、自分が何を出せば良いか分かる。
さて、ここからは、ついでである。
もしも、じゃんけんの前の話し合いで、ｙかｚがチョキを出すことが分かっていたらどうなるか。一覧にすると次の表のようになる。
| ｘ | ｙ | ｚ | ｘの勝敗 | |
|---|---|---|---|---|
| 2 | グー | グー | チョキ | ○ |
| 4 | チョキ | グー | ○ | |
| 5 | チョキ | ○ | ||
| 6 | パー | ● | ||
| 8 | パー | チョキ | ● | |
| 11 | チョキ | グー | チョキ | ● |
| 13 | チョキ | グー | ● | |
| 14 | チョキ | ● | ||
| 15 | パー | ○ | ||
| 17 | パー | チョキ | ○ | |
| 20 | パー | グー | チョキ | ● |
| 22 | チョキ | グー | ● | |
| 23 | チョキ | ● | ||
| 24 | パー | ● | ||
| 26 | パー | チョキ | ● |
勝率は次のようになって、グーを出した方が勝つ確率が高くなる。チョキを出すｙかｚに負けないように出せば良い。
- グーで勝つ確率は\(\frac{3}{5}\)、負ける確率は\(\frac{2}{5}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{2}{5}\)、負ける確率は\(\frac{3}{5}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{0}{5}\)、負ける確率は\(\frac{5}{5}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙかｚがグーを出すことが分かっていたら次のようになる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{2}{5}\)、負ける確率は\(\frac{2}{5}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{2}{5}\)、負ける確率は\(\frac{3}{5}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{3}{5}\)、負ける確率は\(\frac{2}{5}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙかｚがパーを出すことが分かっていたら次のようになる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{0}{5}\)、負ける確率は\(\frac{5}{5}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{5}{5}\)、負ける確率は\(\frac{0}{5}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{2}{5}\)、負ける確率は\(\frac{2}{5}\)
このように、ｙだけを予想した場合と同じである。どちらかを予想できたら、そのどちらかに勝てるように出せば良い。普通のじゃんけんと同じである。
では、じゃんけんの前の話し合いで、ｙとｚのどちらもパーを出さないことが分かっていたらどうなるか。一覧にすると次の表のようになる。
| ｘ | ｙ | ｚ | ｘの勝敗 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | グー | グー | グー | – |
| 2 | チョキ | ○ | ||
| 4 | チョキ | グー | ○ | |
| 5 | チョキ | ○ | ||
| 10 | チョキ | グー | グー | ● |
| 11 | チョキ | ● | ||
| 13 | チョキ | グー | ● | |
| 14 | チョキ | ● | ||
| 19 | パー | グー | グー | ○ |
| 20 | チョキ | ● | ||
| 22 | チョキ | グー | ● | |
| 23 | チョキ | ● |
勝率は次のようになって、グーを出した方が勝つ確率が高くなる。グーかチョキを出すｙかｚに負けないように出せば良い。
- グーで勝つ確率は\(\frac{3}{4}\)、負ける確率は\(\frac{0}{4}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{0}{4}\)、負ける確率は\(\frac{4}{4}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{1}{4}\)、負ける確率は\(\frac{3}{4}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙとｚのどちらもグーを出さないことが分かっていたら次のようになる。こちらも、チョキかパーを出すｙかｚに負けないようにチョキを出せば良い。
- グーで勝つ確率は\(\frac{1}{4}\)、負ける確率は\(\frac{3}{4}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{3}{4}\)、負ける確率は\(\frac{1}{4}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{0}{4}\)、負ける確率は\(\frac{3}{4}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙとｚのどちらもチョキを出さないことが分かっていたら次のようになる。こちらも、パーかグーを出すｙかｚに負けないようにパーを出せば良い。
- グーで勝つ確率は\(\frac{0}{4}\)、負ける確率は\(\frac{3}{4}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{3}{4}\)、負ける確率は\(\frac{1}{4}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{3}{4}\)、負ける確率は\(\frac{0}{4}\)
このように、相手の両方（上の例ではｙとｚ）が何を出さないかがほぼ分かっていれば、その相手に負けないように何を出すかを決めれば良い。普通のじゃんけんと同じである。
では、じゃんけんの前の話し合いで、ｙかｚのどちらかがパーを出さないことが分かっていたらどうなるか。ｙとｚの両方がパーを出さないだけでなく、ｙだけがパーを出さない場合や、ｚだけがパーを出さない場合が含まれる。要するに、ｙとｚの両方がパーを出す場合だけが起こり得ない。一覧にすると次の表のようになる。
| ｘ | ｙ | ｚ | ｘの勝敗 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | グー | グー | グー | – |
| 2 | チョキ | ○ | ||
| 3 | パー | ● | ||
| 4 | チョキ | グー | ○ | |
| 5 | チョキ | ○ | ||
| 6 | パー | ● | ||
| 7 | パー | グー | ● | |
| 8 | チョキ | ● | ||
| 10 | チョキ | グー | グー | ● |
| 11 | チョキ | ● | ||
| 12 | パー | ○ | ||
| 13 | チョキ | グー | ● | |
| 14 | チョキ | ● | ||
| 15 | パー | ○ | ||
| 16 | パー | グー | ○ | |
| 17 | チョキ | ○ | ||
| 19 | パー | グー | グー | ○ |
| 20 | チョキ | ● | ||
| 21 | パー | ○ | ||
| 22 | チョキ | グー | ● | |
| 23 | チョキ | ● | ||
| 24 | パー | ● | ||
| 25 | パー | グー | ○ | |
| 26 | チョキ | ● |
勝率は次のようになって、チョキを出した方が勝つ確率が高くなる。
- グーで勝つ確率は\(\frac{3}{8}\)、負ける確率は\(\frac{4}{8}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{4}{8}\)、負ける確率は\(\frac{4}{8}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{3}{8}\)、負ける確率は\(\frac{5}{8}\)
ｙがパーを出さない場合（ｚがパーを出さない場合も同様）はグーを出した方が勝つ確率が高くなり、グーかチョキを出すｙに負けないように出せば良かった。しかし、今回はｙがパーを出す場合が含まれる。ｙがパーを出したら、グーを出せばｚがグーとチョキのどちらを出しても負けるし、チョキを出せばｚがグーとチョキのどちらを出しても勝てる。その分の勝敗が加わるので、逆転して、グーを出すよりもチョキを出した方が勝つ確率が高くなった。ちなみに、ｙがパーを出した時にパーを出したら、ｚがグーなら勝てるがチョキなら負ける。グーを出した場合と勝率は同じだが、負ける確率が高くなるので、パーは出さない方が良い。
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙかｚのどちらかがグーを出さない（ｙとｚの両方がグーを出すことが起こり得ない）ことが分かっていたら次のようになって、チョキを出した方が勝つ確率が高くなる。ｙがグーを出さないことが分かっていた場合と同じである。
- グーで勝つ確率は\(\frac{3}{8}\)、負ける確率は\(\frac{5}{8}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{5}{8}\)、負ける確率は\(\frac{3}{8}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{2}{8}\)、負ける確率は\(\frac{5}{8}\)
同様に、じゃんけんの前の話し合いで、ｙかｚのどちらかがチョキを出さない（ｙとｚの両方がチョキを出すことが起こり得ない）ことが分かっていたら次のようになって、チョキを出した方が勝つ確率が高くなる。ｙがチョキを出さないことが分かっていた場合と同じである。
- グーで勝つ確率は\(\frac{2}{8}\)、負ける確率は\(\frac{5}{8}\)
- チョキで勝つ確率は\(\frac{5}{8}\)、負ける確率は\(\frac{3}{8}\)
- パーで勝つ確率は\(\frac{3}{8}\)、負ける確率は\(\frac{4}{8}\)
以上の結果をまとめると、次のページのようになる。
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