実質賃金指数を計算する二つの数式

　実質賃金が増加したとか減少したとかニュースで見ることがあるけれど、データで示しているのは「実質賃金指数」らしい。この「指数」は基準時との比率で、基準時のデータ（今の日本では2020年の平均）を100とした場合の調査時の値らしい。だから「実質賃金指数」は調査時の「実質賃金（の平均値）」と基準時の「実質賃金（の平均値）」の比率の100倍になる。

\begin{equation}
実質賃金指数=\frac{調査時の実質賃金}{基準時の実質賃金}\times 100 \label{eq:実質賃金指数１}
\end{equation}

　ただ、「実質賃金指数」は「名目賃金指数」を「消費者物価指数」で除して算出されてもいる。

\begin{equation}
実質賃金指数=\frac{名目賃金指数}{消費者物価指数}\times 100 \label{eq:実質賃金指数２}
\end{equation}

　基準時と調査時の実質賃金の比で算出する式 \eqref{eq:実質賃金指数１} と名目賃金指数と消費者物価指数を使って算出する式 \eqref{eq:実質賃金指数２} は同じ値になるはずだが、本当に同じ値になるのか、数式を変形することで確かめることにした。

　まず、式 \eqref{eq:実質賃金指数１} の分子と分母は次のように求められる。

\begin{equation}
調査時の実質賃金=\frac{調査時の名目賃金}{調査時の消費者物価指数}\times 100 \label{eq:調査時の実質賃金}
\end{equation}

\begin{equation}
基準時の実質賃金=\frac{基準時の名目賃金}{基準時の消費者物価指数}\times 100 \label{eq:基準時の実質賃金}
\end{equation}

　したがって、式 \eqref{eq:実質賃金指数１} は次のように変形できる（\eqref{eq:調査時の実質賃金}と\eqref{eq:基準時の実質賃金}の「$\times 100$」は約分される）。

\begin{equation}
実質賃金指数=\frac{\frac{調査時の名目賃金}{調査時の消費者物価指数}}{\frac{基準時の名目賃金}{基準時の消費者物価指数}}\times 100=\frac{\frac{調査時の名目賃金}{基準時の名目賃金}}{\frac{調査時の消費者物価指数}{基準時の消費者物価指数}}\times 100 \label{eq:実質賃金指数変形}
\end{equation}

　式 \eqref{eq:実質賃金指数２} の「名目賃金指数」は次のように定義されている。

\begin{equation}
名目賃金指数=\frac{調査時の名目賃金}{基準時の名目賃金}\times 100 \label{eq:名目賃金指数}
\end{equation}

　また、式 \eqref{eq:実質賃金指数変形} の分母の「調査時の消費者物価指数」が式 \eqref{eq:実質賃金指数２} の「消費者物価指数」のことで、「基準時の消費者物価指数」を100とした時の指数になる。したがって、式 \eqref{eq:実質賃金指数変形} は次のようになる。

\begin{equation}
実質賃金指数=\frac{\frac{名目賃金指数}{100}}{\frac{消費者物価指数}{100}}\times 100=\frac{名目賃金指数}{消費者物価指数}\times 100 \label{eq:実質賃金指数３}
\end{equation}

　式 \eqref{eq:実質賃金指数２} と同じ式になった。